Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer

（Ⅰ）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1，而B1D1⊂平面CB1D1，满足定理所需条件．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接BD．
在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．
又因为E、F为棱AD、AB的中点，
所以EF∥BD．
所以EF∥B1D1．（4分）
又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，
所以EF∥平面CB1D1．（7分）
（Ⅱ）因为在长方体AC1中，
AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥B1D1．（10分）
又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）
又因为B1D1⊂平面CB1D1，
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（14分）