Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（）
D．（1，3）

Answer

易得函数在区间[m，n]是单调的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax2-（a+1）x+a=0的两个同号的实数根，由△=（a+1）2-4a2＞0，解不等式即可．
【解析】
由题意可得函数f（x）=在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程的两个同号的实数根，
即方程ax2-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn==1＞0，
故只需△=（a+1）2-4a2＞0，解得＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
故选A