Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）为奇函数，且在点（1，f（1））的切线方程为y=3x-2
（1）求函数f（x）的表达式．
（2）已知数列{a_n}的各项都是正数，且对于∀n∈N^*，都有（）²=，求数列{a_n}的首项a₁和通项公式．
（3）在（2）的条件下，若数列{b_n}满足b_n=4ⁿ-m•2（m∈R，n∈N^*），求数列{b_n}的最小值．

Answer

（1）由奇函数性质得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求得b，d，根据点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2，可得f′（1）=3，f（1）=1，解出即可；
（2）：（）2=，即为=①，令n=1可求得首项a1，当n≥2时，=②，①-②并化简可得=2Sn-an③，依此可得=2Sn-1-an-1④，由③-④可得递推式，据此可判断数列为等差数列，从而可求得通项公式；
（3）由（2）易求得=（2n-m）2-m2（n∈N+），令2n=t（t≥2），则bn变为关于t的二次函数形式，在t≥2范围内对m进行分类讨论，注意t为大于等于2的正整数；
【解析】
（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，∴-ax3+bx2-cx+d=-（ax3+bx2+cx+d），
∴b=d=0，
∴f（x）=ax3+cx，
∴f'（x）=3ax2+c，
∵点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-2，
∴，解得a=1，c=0，
∴f（x）=x3；
（2）由题意可知：（）2=，
∴=①，
由①式可得，
∵a1＞0，∴a1=1，
当n≥2时，=②，
由①-②可得：=-=an（Sn+Sn-1），
∵数列{an}的各项都是正数，
∴=Sn+Sn-1=2Sn-an③，
∴=2Sn-1-an-1④，
由③-④可得：-=an+an-1，
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1，
∴数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n；
（3）∵an=n，∴bn=4n-m•，∴=（2n-m）2-m2（n∈N+），
令2n=t（t≥2），∴，
（i）当m≤2时，数列{bn}的最小值为当n=1时，bn=4-4m．
（ii）当m＞2时，
①若m=2k（k∈N+，k≥2）时，数列{bn}的最小值为当n=k时，bk=-m2，
②若m=时，数列{bn}的最小值为，当n=k时或n=k+1，
，
③若（k∈N+，k≥2）时，数列{bn}的最小值为，当n=k时，，
④若（k∈N+，k≥2）时，数列{bn}的最小值为，当n=k+1时，-m2．