Question

已知函数f（x）=lnx+cosx（x∈[π，2π]）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）的值域；
（2）证明方程f（x）=x-π在[π，2π]上必有一根．

Answer

（1）先确定[π，2π]内，f1（x）=lnx是增函数，f2（x）=cosx也是增函数，即可得到函数f（x）的单调性，从而可求函数f（x）的值域；
（2）构造函数g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，验证g（π）•g（2π）＜0，利用零点存在定理，即可得到结论．
【解析】
（1）[π，2π]内，f1（x）=lnx是增函数，f2（x）=cosx也是增函数，…（2分）
∴f（x）=lnx+cosx在[π，2π]内是增函数．…（3分）
∴，fmax（x）=f（2π）=ln2π+1=ln2πe，…（5分）
∴函数f（x）的值域是．…（6分）
（2）设g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，…（8分）
由g（π）=lnπ-1＞lne-1=0，g（2π）=ln2π+1-π＜lne2+1-π=3-π＜0，…（12分）
∵g（π）•g（2π）＜0，…（13分）
∴方程f（x）=x-π在[π，2π]必有一根．…（14分）