Question

已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）
（I）证明：平面PAD⊥PCD；
（II）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_MACB=2：1；
（III）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．

Answer

（I）由已知中CD⊥AD及面PAD⊥面ABCD，我们根据面面垂直的性质定理得到CD⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥PCD；
（II）根据（I）的结论，平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，利用体积公式，分别计算VPDCMA，VMACB，再根据VPDCMA：VMACB=2：1，即可求出满足条件的M为PB的中点；
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如如图所示的空间直角坐标系，求出相关顶点的坐标，进而求出直线AM的方向向量及平面PCD的法向量，判定两个向量是否垂直，即可判断直线AM是否平行面PCD．
【解析】
（I）证明：依题意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD．（2分）
∴平面PAD⊥PCD；
（II）由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．（4分）
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则（6分）
要使
即M为PB的中点；
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，
建立如如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，则的法向量．（10分）
又∵△PAD为等腰Rt△∴
因为
所以AM与平面PCD不平行．（13分）