Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8，其中正确的是    、

Answer

取x=1，得f（3）=-f（1）=1；
根据已知可得（4，0）点是函数图象的一个对称中心；
由f（x-4）=f（-x）得f（x-2）=f（-x-2），即f（x）关于直线x=-2对称，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[-2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=-2对称，可得函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．
【解析】
取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log2（1+1）=-1，所以f（3）=-f（1）=1，故甲的结论正确；
∵f（x-4）=-f（x），则f（x+4）=-f（x），即f（x-4）=f（x+4）
又由f（x）为奇函数f（x-4）=-f（4-x），即f（x+4）=-f（4-x），即函数的图象关于（4，0）点对称，故丙的结论错误．
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），则f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函数f（x）关于直线x=-2对称，
又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，
∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=-2对称，
∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故乙正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．故丁正确
故答案为：甲，乙，丁