Question

已知正项等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为，试问当n为何值时，f（n）最大，并求出f（n）的最大值．

Answer

（1）利用a3，a7+2，3a9成等比数列，求出数列的公差，然后求数列{an}的通项公式；
（2）求出数列{an}的前n项和为，化简表达式，利用基本不等式去，求解f（n）最大值，并求出f（n）的最大值．
【解析】
（1）设公差为d，则a3=1+2d，a7=1+6d，a9=1+8d…（2分）
∵a3，a7+2，3a9成等比数列，∴（3+6d）2=3（1+2d）（1+8d）…（3分）
∴2d2-d-1=0，
∵d＞0，∴d=1，
∴an=1+（n-1）•1=n．…（6分）
（2）∵，∴．…（8分）
∴=
=…（12分）
当且仅当，即n=6时，f（n）取得最大值．…（14分）