Question

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，，AE=EC=1．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求三棱锥D-ACF的体积．

Answer

（1）由平面AC2=AE2+CE2平面，知AE⊥EC，由此能够证明BC⊥AE．
（2）设AC的中点为G，连接EG，由AE=CE，知EG⊥AC，由BC⊥平面AEC，知EG⊥BC，由此推导出点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离，由此能求出三棱锥D-ACF的体积．
【解析】
（1）∵平面AC2=AE2+CE2平面，
∴AE⊥EC，且平面ACE∩平面，AE⊥ECBF，BC⊥AC，
BC⊂平面BCEF，∴BC⊥平面AEC．…（2分）
∴BC⊥AE，…（3分）
又，AE=EC=1，∴AC2=AE2+CE2
∴AE⊥EC…（4分）
且BC∩EC=C，∴AE⊥平面ECBF．…（6分）
（2）设AC的中点为G，连接EG，∵AE=CE，∴EG⊥AC
由（1）知BC⊥平面AEC，∴BC⊥EG，即EG⊥BC，
又AC∩BC=C，∴EG⊥平面ABCD…（8分）
EF∥BC，EF⊄平面ABCD，
所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离
即点F到平面ABCD的距离为EG的长…（10分）
∴，
∵
∴，
即三棱锥D-ACF的体积为．…（12分）