Question

如图，S-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面ABC内一点，若∠OSA=α，∠OSB=β，∠OSC=γ，那么tanαtanβtanγ的取值范围为    ．

Answer

过O分别作与SA、SB、SC平行的平面交三棱锥的侧棱，侧面于各点，补形得到以SO为对角线的长方体，利用长方体体对角线的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和得到cos2α+cos2β+cos2γ=1，移向变形得到sin2α=1-cos2α=cos2β+cos2γ≥2cosβcosγ及另外类似的两个式子，作积后整理即可得到答案．
【解析】
如图，
过O分别作与SA、SB、SC平行的平面交三棱锥的侧棱，侧面于如图所示的点，
得到的图形是以SO为对角线的长方体，
则cos2α+cos2β+cos2γ=．
所以sin2α=1-cos2α=cos2β+cos2γ≥2cosβcosγ．
同理sin2β≥2cosαcosγ，sin2γ≥2cosαcosβ．
则sin2α•sin2β•sin2γ≥8cos2α•cos2β•cos2γ．
所以．
故答案为．