如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=B...

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F在CD上（不含C，D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点，求证：EF⊥面BCD；
（3 ）当 manfen5.com 满分网

的值为多少时，能使AC∥平面EFB，并给出证明．

（1）过C作CH⊥AB于H，根据AE⊥平面ABC，AE⊂平面AEDB，得到平面AEDB⊥平面ABC，结合线面面面垂直的性质证出CH⊥平面ABDE，从而得到CH就是四棱锥C-ABED的高，再用锥体的体积公式即可算出多面体ABCDE的体积；（2）取BC中点M，连接AM、FM，由线面垂直的判定与性质，证出AM⊥平面BCD．再证出四边形AEFM是平行四边形，可得EF∥AM，由此即可得到EF⊥平面BCD；（3）延长BA交DE延长线于N，连接BE，过A作AP∥BE，交DE于P，连接PC，可得当DF：FC=2：1时，AC∥平面EFB．再利用比例线段证出PC∥EF，结合线面平行的判定定理得到PC∥平面EFB，同理得到AP∥平面EFB，从而得到平面PAC∥平面EFB，可得AC∥平面EFB．【解析】（1）过C作CH⊥AB于H， ∵AE⊥平面ABC，AE⊂平面AEDB，∴平面AEDB⊥平面ABC， ∵平面AEDB∩平面ABC=AB，CH⊂平面ABC，CH⊥AB ∴CH⊥平面ABDE，可得CH就是四棱锥C-ABED的高 ∵梯形ABDE的面积为S=（AE+BD）•AB=3，CH=AB= ∴多面体ABCDE的体积为：-------（6分）（2）取BC中点M，连接AM、FM， ∵BD∥AE，AE⊥平面ABC，可得BD⊥平面ABC，∴BD⊥AM ∵正△ABC中，AM⊥CB，CB、BD是平面BCD内的相交直线，∴AM⊥平面BCD ∵AE∥BD且AE=BD，在△BCD中，FM∥BD且FM=BD ∴AE∥FM且AE=FM，由此可得四边形AEFM是平行四边形，可得EF∥AM ∴EF⊥平面BCD----------（10分）（3）延长BA交DE延长线于N，连接BE，过A作AP∥BE，交DE于P，连接PC．则当DF：FC=2：1时，AC∥平面EFB，证明如下 ∵，∴PC∥EF ∵PC⊄平面EFB，EF⊂平面EFB，∴PC∥平面EFB，同理可证AP∥平面EFB ∵PC、AP是平面PAC内的相交直线，∴平面PAC∥平面EFB ∵AC⊂平面PAC，∴AC∥平面EFB 即当的值为2时，能使AC∥平面EFB---------------------（16分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等