Question

求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e=的椭圆
（2）准线为，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线．

Answer

（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），根据题意得c=．再由椭圆的离心率算出a=2，从而得b2=a2-c2=2，得到所求椭圆的方程；
（2）根据双曲线的准线方程，可得．结合a+c=5解之得a=2且c=3，从而算出b2=c2-a2=5，由此即可得到所求双曲线的方程；
（3）根据题意设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py（p＞0），结合题意建立关于p的方程，解出p=4，从而得到所求抛物线的标准方程．
【解析】
（1）∵双曲线的顶点坐标为（0，），
∴所求椭圆的焦点为（0，），可得c=…2分
又∵椭圆的离心率，可得a==2，b2=a2-c2=2…3分
∴所求椭圆方程为；…4分
（2）∵双曲线的准线方程为，∴，结合a+c=5解得a=2，c=3
∴b2=c2-a2=5  …（2分）
∴所求双曲线方程为…（4分）
（3）根据题意，设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py（p＞0）
∵抛物线的焦点坐标为（0，±2），
∴=2，可得p=4…（2分）
∴所求抛物线方程为x2=8y或x2=-8y…（4分）