Question

已知圆，圆，点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点Q（1，2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设P（x，y），据题意，得，O1（-3，0），O2（3，0）由题意知，整理得出点P的轨迹方程．
（2）假设直线AB存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=4．点A、B在动点P的轨迹上，A、B两点的坐标满足双曲线的方程，代入方程后作差即可求出直线AB的斜率，然后得出AB的方程，最后将直线AB的方程与双曲线方程联立，看此方程组是否有解即可．
【解析】
（1）（5分）设P（x，y），据题意，得，O1（-3，0），O2（3，0）…（1分）
∵，
∴…（3分）
整理得  （x≠±3）…（5分）（没有范围扣1分）
（2）（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），若存在，则x1+x2=2，y1+y2=4…（1分）
∵点A、B在动点P的轨迹上，
∴…（2分）
∴，
∴…（4分）
此时kAB=1，
∴AB：y=x+1…（5分）
整理得x2-2x-19=0此时△＞0，
∴这样的直线存在，它的方程为y=x+1…（7分）（没有判断△，扣1分）