Question

若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx； 
④
对应的曲线中存在“自公切线”的有    ．

Answer

①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②在 x= 和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．
③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④结合图象可得，此曲线没有自公切线．
【解析】
①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②y=x2-|x|=，在 x= 和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为②③．