Question

已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=    ．

Answer

由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t-1）x+t2=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，）．由韦达定理可得b-a==，
利用二次函数的性质求得b-a的最大值．
【解析】
关于x的函数y==（1-t）- 的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且函数在（-∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
故有a=f（a），且b=f（b），即=a，=b．
即 a2+（t-1）a+t2=0，且 b2+（t-1）b+t2=0，
故a、b是方程x2+（t-1）x+t2=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（-1，）．
由韦达定理可得b-a==，故当t=-时，b-a取得最大值为 ，
故答案为 ．