Question

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米²），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y关于x的表达式；
（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

Answer

（1）依题意可表示出梯形的高，和底边长，进而可得表示面积，可建立x，y的关系式，化为函数式即可；（2）RT△DEH中，可表示出DE，进而可得l=2y+6x=+，由基本不等式可得答案．
【解析】
（1）如图，等腰梯形EFCD中，DH是高，

依题意：DH=AB=x，EH===，
∴=xy+（x+x+）=xy+，∴y=，
∵x＞0，y＞0，∴，解得0＜x＜，
∴所求的表达式为：y=，（0＜x＜）
（2）在RT△DEH中，∵tan∠FED=，∴sin∠FED=，
∴DE===，
∴l=（2x+2y）+2×+（2×）=2y+6x
==+≥2=26，
当且仅当=，即x=3时取等号，此时y==4，
∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少