Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，n∈N⁺，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和S_n，且满足．
（Ⅰ）求{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
（1）求b₃；
（2）存在N（N∈N⁺），当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

Answer

（I）根据an+1=Sn+1-Sn，代入已知等式并化简整理可得（Sn+1-1）2-（Sn-1）2=2，因此数列{（Sn-1）2}构成公差为2的等差数列，其首项为（S1-1）2=1，结合等差数列的通项公式算出（Sn-1）2的表达式，从而求出{Sn}的通项公式；
（II）（1）根据（I）的结论得Sn=1+，找出使为正整数的n值，从而得到当n=1、5、13时S1=2、S5=4、S13=6为{Sn}的前3个整数项，由此即可得到b3=S13=6；
（2）根据整数的整除性理论，可得若Sn=1+∈N*，必定有=2k-1∈N*．由此算出n=2k2-2k+1，其中k是正整数，进而解出当k=20时，n=761，当k=21时，n=841．由此即可推算出：正整数N满足761≤N＜841，当n≤N时，在{Sn}中数列{bk}有且只有20项，可得N的范围．
【解析】
（I）∵an+1=Sn+1-Sn
∴=Sn+1-Sn，化简得（Sn+1）2-（Sn）2-2（Sn+1-Sn）=2
整理，得（Sn+1-1）2-（Sn-1）2=2
∴数列{（Sn-1）2}构成首项为（S1-1）2=1，公差d=2的等差数列
因此，（Sn-1）2=2n-1，可得Sn=1+
（II）（1）由（I）的结论，Sn=1+
∴欲使Sn为整数，则必须∈N*，可得n=（k2+1）（k∈N*）
因此，分别取k=1、3、5，得n=1、5、13，可得S1=2，S5=4，S13=6
∴结合数列{bk}的定义，可得b1=S1=2，b2=S5=4，b3=S13=6；
（2）∵2n-1是一个奇数，
∴若Sn=1+为整数，必定有=2k-1，其中k是正整数
由此可得2n-1=（2k-1）2，化简得n=2k2-2k+1
∵当k=20时，n=2×202-2×20+1=761；当k=21时，n=2×212-2×21+1=841
∴存在N满足761≤N＜841，当n≤N时，在{Sn}中数列{bk}有且只有20项．
即所求N的取值范围为{N|761≤N＜841且N∈N+}．