Question

棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O为面ABCD的中心．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面体OBC₁D₁的体积；
（3）线段AC上是否存在P点（不与A点重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用正方体的性质可得AB⊥B1C，由正方形的性质可得B1C⊥BC1．再利用线面垂直的判定可得B1C⊥AC1，同理可得AC1⊥CD1，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2））由CC1∥平面BB1D1D，可得点C1到平面BOD1的距离与点C到此平面的距离相等，利用“等体积变形”即可得到∴==，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
（3）利用面面平行的性质即可得出结论．
（1）证明：由正方体可得AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥B1C．
由正方形BCC1B1可得B1C⊥BC1．
而AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，
∴B1C⊥AC1．
同理可证，CD1⊥AC1，
又CB1∩CD1=C，∴AC1⊥平面B1CD1；
（2）∵CC1∥平面BB1D1D，∴点C1到平面BOD1的距离与点C到此平面的距离相等，
∴=====．
（3）由正方体可得平面ABB1A1∥平面CC1D1D，故过点A1与平面CC1D1D平行的直线只能在平面ABB1A1内，
因此在线段AC上除了点A外不存在其它点P，使得A1P∥面CC1D1D．