Question

如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．
（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；
（2）当θ为何值时，征地面积最大？

Answer

（1）利用f（θ）=2S梯形OBCE，可求f（θ）的表达式；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．
【解析】
（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，）
∴f（θ）=2S梯形OBCE=R2（sinθcosθ+cosθ）；
（2）求导数可得f′（θ）=-R2（2sinθ-1）（sinθ+1）
令f′（θ）=0，则sinθ=
∵θ∈（0，）
∴θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，θ∈（，）时，f′（θ）＜0，
∴θ=时，f（θ）取得最大，即θ=时，征地面积最大．