Question

椭圆C₁的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆的离心率相同，长轴长是C₂长轴长的一半．A（3，1）为C₂上一点，OA交C₁于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C₂的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C₂于B，C两点，如图．

（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求Q点坐标；
（3）求证：B，Q，C三点共线．

Answer

（1）由椭圆可知：长轴长为，离心率是，进而得到椭圆C1的a，b，c．
（2）由点A（3，1）可得直线OA：．与椭圆方程联立即可得出点P的坐标，再根据对称性即可得出点Q的坐标；
（3）分AC⊥x轴时，与直线AC的斜率垂直时两种情况讨论．只要证明kBQ=kQC即可．
【解析】
（1）由椭圆可知：长轴长为，离心率是，
∴椭圆C1：，，b2=a2-c2=1，
∴椭圆C1的标准方程为．
（2）∵A（3，1）可得直线OA：．
联立解得第一象限P，可得Q．
（3）当AB∥x轴时，AC⊥x轴，可得B（-3，1），C（3，-1）．
∴，，
∴，∴B，Q，C三点共线．
当直线AC存在斜率时，可设直线AC：y-1=k（x-3），化为y=kx+1-3k，
联立，消去y得到（3k2+1）x2+6k（1-3k）x+9（3k2-2k-1）=0，
得xC=，yC=kxC+1-3k=．
得=．
同理，以代替上式中的k，得kBQ==，
∴kCQ=kBQ，即Q，B，C三点共线，
综上可知：Q，B，C三点共线．