Question

已知F₁，F₂为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x²+y²=a²+b²的一个交点，且满足|PF₁|=2|PF₂|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F₂到渐近线的距离是，过F₂的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

Answer

（Ⅰ）由双曲线的定义及|PF1|=2|PF2|求出|PF1|和|PF2|，给出的圆的半径为双曲线的半焦距，说明△F1PF2为直角三角形，利用勾股定理得关系式可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）由双曲线的渐近线方程为y=±x，说明双曲线为等轴双曲线，再由F2到渐近线的距离是，结合a2+b2=c2即可求出双曲线方程，利用双曲线的焦半径公式求出A（x1，y1），B（x2，y2）到F2的距离，根据以AB为直径的圆与y轴相切，得到，代入坐标后整理即可得到线段AB的长．
【解析】
（Ⅰ）由题设得：，得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
因为点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2=c2的一个交点，∴PF1⊥PF2，
∴，则16a2+4a2=4c2，即5a2=c2，故离心率；
（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是，
∴，所以c=2，又，a2+b2=c2，得a=b=，
所以双曲线方程为x2-y2=2，F2（2，0），．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：，
，
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴．
∴，则，
所以．