Question

已知函数f（x）=2^x+a×2^-x+1，x∈R．
（1）若a=0，画出此时函数的图象；（不列表）
（2）若a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明．

Answer

（1）通过a=0，化简函数的表达式，直接画出此时函数的图象；（不列表）
（2）利用a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调增函数，利用函数的单调性的定义直接证明即可．
【解析】
（1）函数f（x）=2x+a×2-x+1，x∈R．a=0时，函数化为：f（x）=2x+1，
函数图象如图：
（2）当a＜0时，函数f（x）在定义域内的是增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=-（）
=
=
=
∵y=2x是增函数，∴，
∵，a＜0，
∴
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
函数f（x）在定义域内的是增函数．