Question

已知如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2AA₁=2，点E在棱AB上移动，点F为CD₁的中点．
（1）求三棱锥D₁-ADC的体积；
（2）当AE为多长时，EF∥平面DA₁D₁？并证明你的结论；
（3）求证：A₁D⊥D₁E．

Answer

（1）利用长方体的性质可得DD1⊥ABCD，S△ADC，及三棱锥的体积计算公式即可得出；
（2）当AE=1时，即为相等AB的中点时，EF∥平面DA1D1． 取CD的中点G，连接FG，EG，利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质即可得出FG∥D1D，EG∥AD，再利用线面平行的判定定理即可得出；
（3）由正方形ADD1A1得A1D⊥AD1，又AB⊥A1D即可证明A1D⊥对角面ABC1D1．
【解析】
（1）因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，
所以DD1⊥ABCD，，
所以=．             
（2）当AE=1时，EF∥平面DA1D1．      
证明如下：
取CD的中点G，连接FG，EG，则FG∥D1D，EG∥AD，
又因为EG∩FG=G，所以平面EFG∥平面DA1D1，
因为EF⊂平面EFG，所以EF∥平面DA1D1．      
（3）因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，所以AB⊥ADD1A1，
又因为A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D．        
因为BC=AA1，所以四边形A1ADD1为正方形，所以A1D⊥AD1．
又因为AB∩AD1=A，所以A1D⊥平面ABC1D1；
又因为D1E⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥D1E．