Question

已知奇函数．
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer

（1）根据奇函数定义有f（-x）+f（x）=0，由此可求得m值；
（2）定义法：设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，作差比较f（x1）与f（x2）的大小，由函数单调性的定义可判断函数单调性；
（3）由函数奇偶性、单调性可去掉不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0中的符号“f”，从而得到具体不等式，解出即可；
【解析】
（1），
因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，
即，，，2+m=0，m=-2． 
（2）设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）===．
因为y=4x在R上是增函数，且x1＜x2，
所以，所以，
又，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）是R上的增函数．      
（3）因为函数f（x）为增函数又是定义在R上的奇函数，
所以f（x-1）＞f（3x-2），
所以x-1＞3x-2，解得，
所以原不等式的解集为．