Question

已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（-1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a），半径为r，表示出圆的方程，将M坐标代入得到关于a与r的关系式，再有弦长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，即可确定出圆C的方程；
（2）由（1）得到圆C的圆心坐标与半径，假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，经检验不合题意；故两直线斜率都存在，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，设一个斜率为k，另一个为-，由C坐标表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离，根据距离之积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出满足条件的直线方程．
【解析】
（1）∵圆心在直线y=2x上，
∴设圆C的方程为（x-a）2+（y-2a）2=r2，…①
又∵圆C经过点（-1，1），
∴（-1-a）2+（1-2a）2=r2，…②
又∵圆C被x轴截得的弦长为2，
∴1+（2a）2=r2，…③
由①②③解得a=1，r2=5，
则圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5；                 
（2）由（1）知圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=5，圆心C（1，2），
假设存在互相垂直的两条直线满足条件，
当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，
点（-1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠，不符合题意；
当它们的斜率均存在时，
分别设为y-2=k（x-1），y-2=-（x-1），即kx-y+2-k=0，x+ky-2k-1=0，
∴•=，即=，
当=时，即k2+6k-7=0，解得：k=1或k=-7；
当=-时，即7k2+6k-1=0，解得：k=-1或k=，
则存在互相垂直的两条直线方程分别为x-y+1=0，x+y-3=0或x-7y+13=0，7x+y-9=0．