Question

过椭圆内的点P（1，2）作两条互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN恒过定点，定点的坐标为    ．

Answer

设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y-2=k（x-1），将其与椭圆消去y化简得（9+16k2）x2-32k（k-2）x+16（k-2）2-144=0，运用根与系数的关系算出M（，），同样理得出N（，），从而得到直线MN关于k为参数的两点式方程．分别取k=1和k=-1，得到动直线MN的两个位置，记为l1、l2，因为直线MN恒过定点，所以l1与l2的交点即为MN恒过的定点，由此联解直线l1与l2的方程组即可得到经过的定点坐标．
【解析】
设直线AB的方程为y-2=k（x-1），与椭圆消去y得
（9+16k2）x2-32k（k-2）x+16（k-2）2-144=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（xM，yM）
∴x1+x2=，可得xM=（x1+x2）=
代入直线AB方程，得yM=
∴AB中点为M（，）
∵直线AB、CD互相垂直，∴用-代替k，得CD中点为N（，）
因此，直线MN方程为
取k=1，得直线方程，记为l1； 再k=-1，得直线方程，记为l2．
∵随着直线AB、CD运动，直线MN恒过定点
∴直线l1与l2的交点即为MN恒过的定点，联解，得
因此，直线MN恒过定点（ ）
故答案为：（ ）