Question

已知函数f（x）=，f（2）=，f′（2）=4，g（2）=1，g′（2）=3
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a=1时，函数h（x）=在点（2，h（2））处的切线能否与函数f（x）的图象相切？请说明理由．

Answer

（1）利用f′（2）=4即可得到b=-4a，进而得到f′（x）=x2+2ax-4a，通过对其△与0 的关系分类讨论即可得出单调性；
（2）利用导数的几何意义即可得出切线的方程；再求出切点坐标，比较函数值即可．
【解析】
（1）∵f′（2）=4，f′（x）=x2+2ax+b，∴22+4a+b=4，解得b=-4a，
∴f′（x）=x2+2ax-4a，△=4a2+16a=4（a2+4a）．
当△＞0时，即a＞0或a＜-4时，x1，2=，函数f（x）的单调增区间：，．
当△≤0时，即-4≤a≤4时，f′（x）≥0，函数f（x）的单调增区间：（-∞，+∞）．
（2）∵==1，即切点为（2，1）．
由，得=1，
所以，曲线h（x）在点（2，1）处的切线方程y=x-1．
当a=1时，b=-4．
由，∴，得c=2，
∴f（x）=，f′（x）=x2+2x-4．
当f′（x）=x2+2x-4=1，x2+2x-5=0，∴．
当时，．
而，y=x-1=-2．
所以函数在点（2，h（2））处的切线不能与函数f（x）图象相切．