Question

已知正项等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃=8．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=．
（1）求a_n，b_n；
（2）若a_n≥b_n+c对一切n∈N^*都成立，求c的最大值；
（3）把数列{a_n}与{b_n}中相同的项按从小到大的顺序排成一列，记数列{c_n}，求满足c_n＞2012的最小正整数n的值．

Answer

（1）先确定正项等比数列的公比，可得an，利用n≥2时，bn=Sn-Sn-1，可求bn；
（2）由题意得：2n≥5n-1+c对一切n∈N*都成立，所以c≤2n-5n+1对一切n∈N*都成立，令dn=2n-5n+1，可得dn+1-dn，确定单调性，即可求得c的最大值；
（3）确定数列{cn}的通项，即可求满足cn＞2012的最小正整数n的值．
【解析】
（1）正项等比数列{an}中，a1=2，a3=8，∴q=2，∴an=2•2n-1=2n．…（2分）
当n=1时，b1=S1=1；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=5n-1；
∴b1也满足bn=5n-1．
综上，bn=5n-1．…（4分）
（2）由题意得：2n≥5n-1+c对一切n∈N*都成立，
所以，c≤2n-5n+1对一切n∈N*都成立，
令dn=2n-5n+1，所以dn+1-dn=2n-5，…（7分）
当n≤2时，dn+1＜dn，{dn}为递减数列，即d1＞d2＞d3；
当n≥3时，dn+1＞dn，{dn}为递增数列，即d3＜d4＜d5＜…（9分）
所以dn最小值为d3=-6，
所以c≤-6，即c的最大值为-6..…（11分）
（3），，…
b1=4，b2=9，b3=14，b2=19…
∴数列{an}与{bn}中相同的项按从小到大的顺序排成一列为数列{cn}，即
，，，，…
∴，，
所以满足cn＞2012的最小正整数n的值为4．…（16分）