Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃＞a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且 （n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n．

Answer

（1）通过求解一元二次方程求得a3，a5，则等差数列{an}的公差可求，直接由an=am+（n-m）d写出通项公式；根据给出的数列{bn}的递推式，先取n=1求出b1，取n=n-1得另一递推式，两式作差整理后可说明数列{bn}是等比数列，且求出公比，则{bn}的通项公式可求；
（2）把（1）中求出的数列{an}，{bn}的通项公式代入cn=anbn，再求出cn+1，利用作差法即可求证不等式．
（1）【解析】
由x2-14x+45=0得：x1=5，x2=9．
∵a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，且等差数列{an}的公差大于0，
∴a3=5，a5=9，则公差d=．
∴an=a3+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1，
由，当n=1时，有，∴．
当n≥2时，有，
∴3bn=bn-1，∵≠0，∴（n≥2）．
∴数列{bn}是以为首项，以为公比的等比数列．
∴．
（2）证明：由an=2n-1，，∴，．
则=．
∴cn+1≤cn．