Question

如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中a_ij（i，j=1，2，3…，n）表示位于第i行第j列的实数，且a_ij∈{1，-1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
• • •	• • •	…	• • •
an1	an2	…	ann

对于A∈S（n，n），记r_i（A）为A的第i行各数之积，C_j（A）为A的第j列各数之积．令l（A）=r_i（A）+C_j（A）．
（Ⅰ）对如下数表A∈S（4，4），求l（A）的值；

1	1	-1	-1
1	-1	1	1
1	-1	-1	1
-1	-1	1	1

（Ⅱ）证明：存在A∈S（n，n），使得l（A）=2n-4k，其中k=0，1，2，…，n；
（Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A∈S（n，n），证明：l（A）≠0．

Answer

（Ⅰ）计算r1（A）=r3（A）=r4（A）=1，r2（A）=-1；C1（A）=C2（A）=C4（A）=-1，C3（A）=1，利用定义，可得结论；
（Ⅱ）确定r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=Ck（A）=-1，即可证得结论；
（Ⅲ）用反证法，假设存在A∈S（n，n），其中n为奇数，使得l（A）=0，利用条件引出矛盾．
（Ⅰ）【解析】
r1（A）=r3（A）=r4（A）=1，r2（A）=-1；C1（A）=C2（A）=C4（A）=-1，C3（A）=1，
所以l（A）=ri（A）+Cj（A）=0．                         …（3分）
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表A：aij（i，j=1，2，3，…，n），显然l（A）=2n．
将数表A中的a11由1变为-1，得到数表A1，显然l（A1）=2n-4．
将数表A1中的a22由1变为-1，得到数表A2，显然l（A2）=2n-8．
依此类推，将数表Ai-1中的akk由1变为-1，得到数表Ak．
即数表Ak满足：a11=a22=…=akk=-1（1≤k≤n），其余aij=1．
所以r1（A）=r2（A）=…=rk（A）=-1，C1（A）=C2（A）=…=Ck（A）=-1．
所以l（Ak）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k，其中k=1，2，…，n．…（7分）
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在A∈S（n，n），其中n为奇数，使得l（A）=0．
因为ri（A）∈{1，-1}，Cj（A）∈{1，-1}（1≤i≤n，1≤j≤n），
所以为ri（A），Cj（A）（1≤i≤n，1≤j≤n），这2n个数中有n个1，n个-1．
令M=r1（A）•r2（A）•…•rn（A）C1（A）C2（A）•…•Cn（A）．
一方面，由于这2n个数中有n个1，n个-1，从而M=（-1）n=-1．     ①
另一方面，r1（A）•r2（A）•…•rn（A）表示数表中所有元素之积（记这n2个实数之积为m）；C1（A）C2（A）•…•Cn（A）也表示m，从而M=m2=1．               ②
①、②相互矛盾，从而不存在A∈S（n，n），其中n为奇数，使得l（A）=0．
即n为奇数时，必有l（A）≠0．                              …（13分）