Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β．求证：；
（2）若点C到平面AB₁D₁的距离为，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer

（1）此题由题意画出图形因为ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β，所以应先利用线面角及二面角的定义求出α，β，即可得证；
（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．
【解析】
（1）由题意画出图形为：

∵ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，
∴底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，∴，
又因为二面角A-B1D1-A1的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，∴∠AO1A1=β，∴ 
而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，∴，∴．
（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1
且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到，而，∴⇔⇒AA1=2，
故正四棱锥的高为AA1=2．