Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（I）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；
（II）对于存在性问题可先假设存在在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．
【解析】
（I）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）

化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（II）【解析】
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x，y）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以
即（3-x）2=|x2-1|，解得
因为x2+3y2=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．