Question

一个多面体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）如图所示，M，N分别是B₁C₁，A₁B的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC；
（3）若这个多面体的六个顶点A，B，C，A₁，B₁，C₁都在同一个球面上，求这个球的体积．

Answer

（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1．连接AC1，AB1，矩形ABB1A1中对角线AB1的中点N就是A1B的中点．结合M是B1C1的中点证出MN∥AC1，由线面平行的判定定理，证出MN∥平面ACC1A1．
（2）由BC⊥平面ACC1A1，得到BC⊥AC1．正方形ACC1A1中可得A1C⊥AC1，结合线面垂直判定定理，证出AC1⊥平面A1BC，再由MN∥AC1，可得MN⊥平面A1BC；
（3）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，在矩形ABB1A1中算出可得A1B=，从而得到，同理得，所以点N是多面体的外接球心，得到半径R=．由球的体积公式，即可算出该外接球的体积．
【解析】
由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1，
（Ⅰ）连接AC1，AB1，由直三棱柱的性质，得AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1B1，可得四边形ABB1A1为矩形．
由矩形的性质，得AB1过A1B的中点N．
在AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，
又∵AC1⊂平面ACC1A1MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1．…（4分）
（Ⅱ）∵BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1
在正方形ACC1A1中，可得A1C⊥AC1
又∵BC∩A1C=C，∴AC1⊥平面A1BC
又∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC…（8分）
（Ⅲ）∵多面体为直三棱柱，
∴矩形ABB1A1中，
可得A1B=，
∵AN是直角三角形斜边的中线，∴
同理可得
∴N是这个多面体的外接球的球心，半径R=…（10分）
∴外接球的体积V=a3…（14分）