(Ⅰ)解法一:根据椭圆E:的一个交点为,过点,可得a2-b2=3,,联立即可求得椭圆E的方程;
解法二:椭圆的两个焦点分别为,利用椭圆的定义,可求椭圆E的方程;
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),求出,同
设圆G的圆心为,利用,即可得到线段OT的长度;
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),求出,,可得,由切割线定理可得线段OT的长度.
(Ⅰ)解法一:由题意,∵椭圆E:的一个交点为,
∴a2-b2=3,①
∵椭圆过点.
∴,②
①②解得a2=4,b2=1,
所以椭圆E的方程为.…(4分)
解法二:椭圆的两个焦点分别为,
由椭圆的定义可得,所以a=2,b2=1,
所以椭圆E的方程为.…(4分)
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),
直线PA1:,令y=0,得;
直线PA2:,令y=0,得;
设圆G的圆心为,
则r2=,
而,所以,所以,
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分)
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x,y),
直线PA1:,令y=0,得;
直线PA2:,令y=0,得;
则,而,所以,
所以,由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分)