Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₁+a₂+…+a₂₀=590
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{b_n}的通项（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{b_n}的前n项和．试比较S_n与的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）设数列{an}的公差为d，由题意得，解之可得首项和公差，可得通项公式；
（2）可得Sn=loga[（1+1）（1+）…（1+）]，=，问题转化为比较（1+1）（1+）…（1+）与，推测（1+1）（1+）…（1+）＞，下面由数学归纳法证明，可得最后结论．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，由题意得
解得，所以an=3n-2．
（2）．由an=3n-2，，
知Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+loga（1+）
=loga[（1+1）（1+）…（1+）]，
==
要比较Sn与logaan+1的大小，先比较（1+1）（1+）…（1+）与
取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，…，
由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞．              ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，Sn＞logaan+1；当0＜a＜1时，Sn＜logaan+1
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞．
那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．
因为==，
所以（3k+2）＞．
因而（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞．
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：
当a＞1时，Sn＞logaan+1；当0＜a＜1时，Sn＜logaan+1
由于①等价于k＜g（α），k∈Z
∴k的最大值为2