Question

设函数f（x）=e^x-ax-2
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当x∈（-∞，0）时，求f（x）的单调区间；
（3）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer

（1）求导函数，利用f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，建立方程，可求a的值；
（2）对a分类讨论，利用导数的正负，可得当x∈（-∞，0）时，求f（x）的单调区间；
（3）由题意，x＞0时，不等式等价于，求出右边函数的值域，即可求k的最大值．
【解析】
（1）求导函数可得f′（x）=ex-a，则
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，解得a=e；
（2）f′（x）=ex-a
若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增；
若a＞0，令f′（x）=ex-a=0，得x=lna
①当0＜a＜1时，x=lna＜0，∴函数的单调递减区间是（-∞，lna）；单调增区间是（lna，0）；
②当a≥1时，x=lna＞0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（3）由于a=1，∴（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+1，
∴x＞0时，不等式等价于①
令g（x）=，则
由①知，函数h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，
∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，
设此零点为α，则α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）
∵g′（α）=0，∴eα=α+2
∴g（α）=α+1∈（2，3）
∵①等价于k＜g（α）．k∈Z
∴k的最大值为2．