Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动．
（Ⅰ）当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（Ⅱ）求证：PE⊥AF．

Answer

（Ⅰ）当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC，欲证EF∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAC内一直线平行，根据中位线定理可知EF∥PC，PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证PE⊥AF，而PE⊂平面PDC，可先证AF⊥平面PDC，根据CD⊥平面PAD，有线面垂直的性质可知AF⊥CD，根据等腰三角形可知AF⊥PD，CD∩PD=D，满足线面垂直的判定定理．
【解析】
（Ⅰ）当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC．（2分）
理由如下：∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．（3分）
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．（8分）
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．（10分）
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．（11分）
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．（12分）