Question

设函数f（x）=x²e^x-1-x³-x²，g（x）=x³-x²，试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer

作差，构建新函数，求导数，利用导数的正负确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可比较大小．
【解析】
∵f（x）=x2ex-1-x3-x2，g（x）=x3-x2，
∴f（x）-g（x）=x2（ex-1-x），令h（x）=ex-1-x，则h′（x）=ex-1-1．
令h′（x）=0，得x=1，因为x∈（-∞，1]时，h′（x）≤0，
所以h（x）在x∈（-∞，1]上单调递减．
故x∈（-∞，1]时，h（x）≥h（1）=0；
因为x∈[1，+∞）时，h′（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上单调递增．
故x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）=0．
所以对任意x∈R，恒有h（x）≥0，
又x2≥0，因此f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）．