Question

已知A（1，1）是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．

Answer

（1）根据椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程．
（2）先假设出直线AV的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．
【解析】
（1）由椭圆定义知2a=4，所以a=2，
即椭圆方程为=1
把（1，1）代入得=1所以b2=，椭圆方程为：=1
（2）由题意知，AC的倾斜角不为90，故设AC方程为y=k（x-1）十1，
联立消去y，得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0．
∵点A（1，1）、C在椭圆上，∴xC=
∵AC、AD直线倾斜角互补，∴AD的方程为y=-k（x-l）+1，
同理xD=
又yC=k（xC-1）+1，yD=-k（xD-1）+1，
∴yC-yD=k（xC+xD）-2k．
∴．