Question

已知各项均为正数的等差数列{a_n}的公差d不等于0，设a₁，a₃，a_k是公比为q的等比数列{b_n}的前三项，
（1）若k=7，a₁=2；
（i）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（ii）将数列{a_n}和{b_n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c_n}，设其前n项和为S_n，求的值
（2）若存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比数列，求证k为奇数．

Answer

（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又an是公差d≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1×qn-1=2n，
（i）用错位相减法可求得anbn的前n项和为Tn=n×2n+1；
（ii）因为新的数列{cn }的前2n-n-1项和为数列an的前2n-1项的和减去数列bn前n项的和，所以计算得到．
（2）由题意由于（a1+2d）2=a1（a1+（k-1））d，整理得4d2=a1d（k-5），解方程得，，又因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，及在正项等差数列{an}中，得到2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）3，分析数特点即可．
【解析】
（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又an是公差d≠0的等差数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），整理得a1=2d，
又a1=2，所以d=1，b1=a1=2，，
所以an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1×qn-1=2n，
（i）用错位相减法或其它方法可求得anbn的前n项和为Tn=n×2n+1；
（ii）因为新的数列{cn }的前2n-n-1项和为数列an的前2n-1项的和减去数列bn前n项的和，
所以．
所以
（2）由（a1+2d）2=a1（a1+（k-1））d，整理得4d2=a1d（k-5），
因为d≠0，所以，所以．
因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，
所以，
又在正项等差数列{an}中，，
所以，又因为a1＞0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）3，
因为2[4+（m-1）（k-5）]是偶数，所以（k-3）3也是偶数，
即k-3为偶数，所以k为奇数．