Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

Answer

（1）如果a＜-2，由题设条件知|a1|=|a|＞2，a∉M．
（2）由题高级条件知当时，（∀n≥1）．由数学归纳法可以证出对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．
（3）当时，a∉M．由题设条件可以推导出．当时，，由此可知an+1＞2，因此a∉M．
证明：（1）如果a＜-2，则|a1|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）当时，（∀n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时，．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k，．
由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当时，a∉M．证明如下：
对于任意n≥1，，且an+1=an2+a．
对于任意n≥1，，
则．
所以，．
当时，，
即an+1＞2，因此a∉M．（10分）