Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点．，侧面PAD是等边三角形，底面ABCD是梯形，且AB∥CD，CD=2AB．
（1）证明：直线BE∥平面PAD；
（2）求异面直线AD和BE所成的角．

Answer

（1）取PD中点F，连结EF、AF，利用三角形中位线定理及梯形梯形ABCD中，AB∥CD且，证出四边形ABEF为平行四边形，BE∥AF，结合线面平行的判定定理即可得到BE∥平面PAD；
（2）根据异面直线所成角的定义，得∠FAD就是异面直线AD与BE的所成角．由AF是正△PAD的中线得到∠FAD=30°，从而得到异面直线AD与BE的所成角为30°．
【解析】
（1）取PD中点F，连结EF、AF，
∵EF是△PCD的中位线，可得EF∥CD，且…（2分）
又∵梯形ABCD中，AB∥CD，且
∴EF∥AB且EF=AB，可得四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，…（4分）
∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD；…（6分）
（2）由（1）可知BE∥AF，
∴∠FAD就是异面直线AD与BE的所成角，…（ 10分）
∵△PAD是正三角形，且AF是中线，∴∠FAD=30°，
即异面直线AD与BE的所成角为30°…（12分）