Question

设函数f（x）=，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为    ．

Answer

画出函数的图象，利用函数的图象的对称性，结合对字母a进行分类讨论，不难推出结论．
【解析】
当a＞0时，作出两个函数的图象，如图，
则当b∈（0，1）时，函数f（x）=，g（x）=ax2+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，故考虑当b=1时，两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，如图．
由方程=ax2+x，得ax3=1-x2，两边求导，得3ax2=-2x，∴a=-，
∴-×x3=1-x2，解得x=，
∴a=-=-，
结合图象可知，当a＞0时，
当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为；
同理，当a＜0时，实数a的取值范围为；
当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为；
又当a=0时，函数f（x）=，g（x）=bx，的图象有且仅有两个不同的公共点．
故答案为：．