Question

已知函数，f（x）=x³+bx²+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为2x-y-1=0．
（1）求实数c，d的值；
（2）若过点P（-1，-3）可作出曲线y=f（x）的三条不同的切线，求实数b的取值范围；
（3）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．

Answer

（1）由点（0，f（0））在切线上得f（0）=-1，且f′（0）=2，联立可解得c，d；
（2）设切点为Q（x，y），易求切线方程，把点P（-1，-3），代入并整理得，由题意，方程有两个不同的非零实根，据此得到不等式组，解出可得b的范围；
（3）不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x3+bx2+3，由题意可知，et-lnt的最小值应小于或等于x3+bx2+3对任意x∈[1，2]恒成立，构造函数h（t）=et-lnt，用导数可求得h（t）min，分离参数后再构造函数，转化为求函数最值即可；
（1）f'（x）=3x2+2bx+c，由题意得，切点为（0，-1），
则，解得． 
（2）设切点为Q（x，y），则切线斜率为，，
所以切线方程为，即，
又切线过点P（-1，-3），代入并整理得，
由题意，方程有两个不同的非零实根，
所以，解得，
故实数b的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）∪（9，+∞）．   
（3）由（1）知，f（x）=x3+bx2+2x-1，则不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x3+bx2+3，
由题意可知，et-lnt的最小值应小于或等于x3+bx2+3对任意x∈[1，2]恒成立，
令h（t）=et-lnt，则，令h'（t）=0，解得，列表如下：

t
h'（t） - +
h（t） ↘ 极小值 ↗

因此，h（t）的最小值为．                    
所以2≤x3+bx2+3对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，
令，则，令g'（x）=0，解得，列表如下：

x 1 2
g'（t） + -
g（t） -2 ↗ 极大值 ↘

因此，g（x）的最大值为，所以．