Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

Answer

解法一（几何法）（1）由已知中AC=BC，D是AB的中点，由等腰三角形三线合一，可得CD⊥AB，又由VC⊥底面ABC，由线面垂直的性质可得VC⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH，可得∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，设∠CBH=φ，根据=asinφ，易得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围．
解法二（向量法）（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分析求出，，易得根据向量数量积为0，得到CD⊥AB，VC⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）令直线BC与平面VAB所成的角为φ，求出平面VAB的一个法向量和，由向量夹角公式，易得到，进而得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围．
【解析】
法一（几何法）：
证明：（1）∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又D是AB的中点∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
【解析】
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH
则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．
在Rt△CHD中，CD=，；
设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴∵∴0＜sinθ＜1，
又，∴
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为．
法二（向量法）：
证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．
【解析】
（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），
则由．
得
可取，又，
于是，
∵，∴0＜sinθ＜1，．
又，∴．
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为．