Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F₁F₂为双曲线C的左，右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0，由该直线与圆相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为 ，能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）由，得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．由此能求出点N的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
则kx-y=0
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故设双曲线C的方程为．
又双曲线C的一个焦点为 
∴2a2=2，a2=1．
∴双曲线C的方程为x2-y2=1．
（Ⅱ）由
得（1-m2）x2-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此
解得．
又AB中点为，
∴直线l的方程为．
令x=0，
得．
∵，
∴
∴．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，
则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，
若Q在双曲线的左支上，
则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．
根据双曲线的定义|TF2|=2，
所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，
即点T的轨迹方程是①
由于点N是线段F1T的中点，
设N（x，y），T（xT，yT）．
则，即．
代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.