Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求S_n的最大值；
（III）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由已知可知，a1=s1，当n≥2 时，an=Sn-Sn-1可求an，然后检验a1=S1是否适合上式，从而可求通项
（II）解法1：由等差数列的求和公式求出sn，结合二次函数的性质可求sn取得最大值
解法2：先求出满足an＞0的n的范围，结合数列项的正负可判断sn取得最大值
（III） 令an=11-2n≥0，解出n的范围，然后可得Tn=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|，结合数列项的正负去掉绝对值符合，然后结合等差数列的求和公式即可求解
【解析】
（I）当n=1时，a1=s1=9；-------------（1分）
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=10n-n2-[10（n-1）-（n-1）2]=11-2n，-----（3分）
n=1 时，a1=S1=9 也适合上式
∴an=11-2n（n∈N*）．-------------（4分）
（II）解法1：=-（n-5）2+25，-------------（6分）
所以，当n=5时，sn取得最大值25．-------------（7分）
解法2：令an=11-2n≥0，得n，
即此等差数列前5项为正数，从第6项起开始为负数，
所以，s5最大，-------------（6分）
故（Sn）max=s5=25．-------------（7分）
（III） 令an=11-2n≥0，得n．-------------（8分）
Tn=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|
当n≤5时，an＞0，bn=an，Tn=a1+a2+…+an=Sn=10n-n2，-------------（9分）
当n＞5 时，an＜0，bn=-an，Tn=（a1+a2+a3+a4+a5）-（a6+a7+…an）=2S5-Sn=n2-10n+50-------------（11分）
综上可知，数列{bn}的前n项和．-------（12分）