Question

已知函数f（x）=（x-2a）（x-a-1）．
（I）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（II）若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）通过解方程求出方程的两个根，利用当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（II）对a=1与a＞1与a＜1，利用∀x∈（5，7），通过不等式f（x）≤0恒成立，列出不等式组，求实数a的取值范围．
【解析】
（I）令（x-2a）（x-a-1）=0．
得x1=2a，x2=a+1，-------------（1分）
x1-x2=a-1，
因为a＞1，所以a-1＞0，即2a＞a+1，-------------（2分）
由f（x）=（x-2a）（x-a-1）≤0，解得a+1≤x≤2a．-------------（4分）
（II）当a=1时，2a=a+1，f（x）=（x-2）2，不符合题意．-----（5分）
当a＞1时，2a＞a+1，若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有 解得．-------------（7分）
当a＜1时，2a＜a+1，若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有，a无解．------------（9分）
综上，实数a的取值范围是．-------------（10分）