Question

已知椭圆C₁：=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=r²（r＞0）都过点P（-1，0），且椭圆C₁离心率为，过点P作斜率为k₁，k₂的直线分别交椭圆C₁、圆C₂于点A、B、C、D（如图），k₁=2k₂．
（1）求椭圆C₁和圆C₂的方程；
（2）求证：直线BC恒过定点．

Answer

（1）直接把定点代入圆的方程求圆的半径，利用椭圆过定点得到a的值，代入离心率后求得c的值，结合b2=a2-c2求得b的值，则圆与椭圆的方程可求；
（2）设出直线AB和CD的方程，分别和圆与椭圆联立后求出A，B，C，D的坐标，求出BC的斜率（用k2）表示，由点斜式写出直线BC的方程后可得直线BC恒过定点．
（1）【解析】
由圆C2：x2+y2=r2（r＞0）过点P（-1，0），得到r2=1，
所以圆C2的方程为x2+y2=1．
由椭圆C1离心率为=，
由椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点P（-1，0），得，
所以a=1，代入，得c=，
所以．
所以椭圆C1的方程为x2+2y2=1；
（2）证明：由题意可设直线AB的方程为y=k1（x+1），直线CD的方程为y=k2（x+1）．
由．
由．
同理可得：，
所以，因为k1=2k2，所以，
所以直线BC的方程为．
即，恒过定点（1，0）．