Question

设数列{a_n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a_n，a_n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根．
（1）试写出y=f₁（x），并求出a₂；
（2）求a_n+1-a_n，并求出{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n．

Answer

（1）由题意可得当n=1时，f1（x）=|sin（x-a1）|=|sinx|，结合对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根可得a2=π，代入可求f1（x）a2=π
（1）类比（1）的方法可分别求f2（x），f3（x），及a2，a3，a4归纳可得an+1-an=nπ，从而利用叠加法可求
（3）当n=2k，k∈Z（4），S2k=a1-a2+a3-a4+…+a2k-1-a2k，n=2k+1，S2k+1=S2k+a2k+1两种情况讨论求解
【解析】
（1）∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x-a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，…（2分）
又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π
∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π…（4分）
（1）由（1），（2）
∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）       

∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）
由此可得an+1-an=nπ，…（8分）   
利用叠加可求得   …（10分）
（3）当n=2k，k∈Z（4），S2k=a1-a2+a3-a4+…+a2k-1-a2k（5）
=-[（a2-a1）+（a4-a3）+…+（a2k-a2k+1）]
=-[π+3π+5π+…+（2k-1）π]=
∴…（13分）
当n=2k+1，k∈Z，
∴…（16分）