Question

已知函数f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）x∈（1，+∞）．
（1）x=是函数的一个极值点，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，函数g（x）=-x²-b，（b＞0），若对任意m₁，m₂∈[+1，e+1]，都成立，求b的取值范围．

Answer

（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求导得到f′（）=0得，求a；
（2）由（1）得到的导数，考虑f（x）的定义域，利用导数与单调性的关系即可确定函数的单调区间；
（3）若对任意m1，m2∈[+1，e+1]，都成立，转化为求函数f（x）在区间∈[+1，e+1]上的最大值与函数g（x）在区间∈[+1，e+1]上的最小值的差小于2e2+2e即可，从而建立关于b的不等关系求出b的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）=x2+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）
f′（x）=2x+2（1-a）+，…（2分）
∵x=是函数的一个极值点，
∴f′（）=0
解得：a=…（4分）
（2）∵f′（x）=2x+2（1-a）+=
又f（x）的定义域为（1，+∞）．
∴当a≤1时，函数f（x）的单调增区间（1，+∞）．…（6分）
当a＞1时，函数f（x）的单调增区间（a，+∞），减区间为（1，a）．…（…（8分）
（3）当a=2时，由（2）知f（x）在（1，2）减，在（2，+∞）增．
∵f（2）=0，f（+1）=，f（e+1）=e2-3
∴y=f（x）在[+1，e+1]上的值域为[0，e2-3]…（10分）
∵函数g（x）=-x2-b在[+1，e+1]上是减函数，
∴y=g（x）在[+1，e+1]上的值域为[-（e+1）2-b，-（+1）2-b]…（11分）
∵b＞0
∴-（e+1）2-b，-（+1）2-b都小于0
∴，只要e2-3-[-（e+1）2-b]=e2-3+（e+1）2+b=2e2+2e-2+b＜2e2+2e即可
…（12分）
解得：0＜b＜2…（14分）